No final de 2023 voltei a olhar para números que não recebiam minha atenção desde a época da faculdade — números complexos. Como matemático aplicado utilizei — durante a graduação — números complexos no contexto de teoria de controle, processamento de sinais e, claro, em cálculo.

Pesquisar novamente sobre o tópico me abriu o apetite para uma série de análise complexa — especialmente depois de ler, muito brevemente, alguns materiais sobre modelos de machine learning com parâmetros complexos. Assim vou me dedicar nesse início de ano a algumas publicações sobre números complexos, aplicações e alguns testes de modelos com parâmetros complexos — nenhum resultado prometido, um trabalho mais com caráter de curiosidade.

Uma breve (e incompleta e com buracos) história

Acredita-se que o primeiro uso da unidade imaginária surge no século XVI, com os trabalhos de Scipione del Ferro, Tartaglia e Cardano, na tentativa de se obter um método de solução das equações cúbicas.

Equações cúbicas são equações da forma $ax^3+bx^2+cx+d=0$. O método de Cardano (baseado no trabalho de del Ferro e Tartaglia) propõe uma solução para equações cúbicas sem o termo quadrático, i.e., uma equação na forma $x^3-ax-b = 0$ e, através de uma mudança de variáveis, reduz-se qualquer equação cúbica completa para essa forma.

A solução de Cardano para a equação $x^3-ax-b = 0$ pode envolver raízes de números negativos mesmo quando a equação possui soluções reais.

Um exemplo clássico é a equação $x^3-15x-4=0$. Na solução dessa equação, usando o método de Cardano, aparecem os termos $\sqrt{-11}-2$ e $\sqrt{-11}+2$, que se cancelam, chegando ao resultado $x=4$. Note que nessa equação temos $a=15$ e $b=4$.

A raiz $x=4$ é uma solução da equação, mas em sua obtenção pelo método de Cardano nos deparamos com a $\sqrt{-11}$ (na solução utilizei a notação $i$, mas essa notação aparece anos mais tarde, com Euler).

De início, a reação dos matemáticos era ou evitar usar esse tipo de resultado ou usar apenas quando necessário (e não falar muito sobre isso) — e esse ímpeto de evitar utilizar raízes de número negativos tinha fundamento: embora a aplicação do método de Cardano “funcione”, não existia uma definição formal do que era essa raiz de um número negativo, logo seu uso era evitado para que os matemáticos não corressem o risco de esbarrar em alguma inconsistência teórica — as definições e demonstrações formais sobre números complexos vieram a aparecer apenas no século XVIII.

O uso da unidade imaginária abriu um novo caminho para a matemática, separando álgebra e geometria, justificando a exploração da ciência para além de suas aplicações práticas imediatas ou interpretações geométricas.

A utilidade de números complexos aparece também na física — por exemplo, em 1925, com o físico Erwin Schrödinger: em sua famosa equação para descrever o comportamento de um sistema quântico, a unidade imaginária $i$ aparece.

Algumas definições

Uma definição de número complexo pode ser feita dessa forma: $c$ é complexo se pode ser escrito na forma $c=a+bi$ onde $a,b \in \mathbb{R}$ com um elemento $i$, chamado de unidade imaginária, que satisfaz $i^2=-1$. Denotamos o conjunto de números complexos como $\mathbb{C}$.

• Se define como número imaginário um número da forma $bi$, onde $b \in \mathbb{R}$. Um número complexo é a combinação de um número real e imaginário, na forma definida acima, $a+bi$, com $a \in \mathbb{R}$.
• Em textos de engenharia a unidade imaginária pode aparecer representada pela letra $j$.
• Números reais são considerados parte do conjunto dos complexos: dado $a \in \mathbb{R}$ podemos escrever $a=a+0i$.
• Podemos definir $\text{Re}(c)$ como a função que retorna a parte real do número. Logo, seja $c=a+bi$ então $\text{Re}(c)=a$.
• Da mesma forma, definimos $\text{Im}(c)$ a função que retorna a parte imaginária do número: seja $c=a+bi$ então $\text{Im}(c)=b$ (note que $\text{Im}(c) \in \mathbb{R}$).
• $\mathbb{C}$ é um corpo (field, em inglês) — possui as operações de adição e multiplicação (fechadas, associativas e comutativas), seus respectivos elementos neutros, inversos e propriedade distributiva.
• Soma de números complexos: $(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$.
• Multiplicação de números complexos: $(a + bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i$, usando aqui a definição $i^2=-1$.
• O conjugado de um complexo $c = a+bi$ é definido como $\bar{c}=a-bi$.

Representações no plano

Um número complexo $c = a+bi$ pode ser representado como um ponto no plano complexo (ou plano de Argand-Gauss) onde o eixo $x$ (horizontal) representa a parte real e o eixo $y$ (vertical) a parte imaginária de $c$.

Nessa representação, um número sobre o eixo $y$ é puramente imaginário (com coordenada $x = 0$) e um número sobre o eixo $x$ é puramente real (coordenada $y=0$). Por exemplo, podemos ter $z_2 = 1 + i$ e $z_3 = -1 - 2i$. Representando em pares ordenados, $z_2=(1,1)$ e $z_3=(-1,-2)$.

Podemos também representar um número complexo pelo seu módulo e argumento. Seja $c = a+bi$, temos:

• o módulo de $c$, representado por $r$, é definido como $r=\sqrt{a^2+b^2}$ (também pode ser representado como $|c|$).
• o argumento de $c$, representado por $\text{Arg}(c)$, é definido como o ângulo $\theta$, com $-\pi < \theta \leq \pi$, formado, no plano complexo, entre o eixo horizontal e a representação vetorial de $c$.

Utilizando coordenadas polares podemos escrever a relação entre $a$ e $b$ (coordenadas no plano) com o módulo e argumento:

$a = r\cos(\theta), \quad b = r\sin(\theta)$

Aplicando a fórmula de Euler, $e^{ix}=\cos(x)+i \sin(x)$, temos a representação polar de $c$:

$c = re^{i\theta}$

Referências

• Visualizing complex numbers (3Blue1Brown)
• Imaginary numbers are real (Welch Labs)
• The Battle of the Cubic Equation and the Dawn of the Complex Numbers (Cantor’s Paradise)
• Wegert, E. Visual Complex Functions. An Introduction to Phase Portraits. Springer, ISBN 978-3-0348-0179-9.